\((1)\Large{ \frac{6}{21}=}\)
\((2)\Large{\frac{7}{35}=}\)
\((3)\Large{\frac{141}{611}=}\)
\((4)\Large{\frac{391}{437}=}\)
\((5)\Large{\frac{5609}{7739}=}\)
※後ほど解答しています。
（１）、（２）のような九九程度の約分は、2・３・５の倍数を考えれば大丈夫。
（３）、（４）、（５）のような場合、約分は一気に難しくなります。確率など記述式の問題で、折角解けているのに
・・・答えがおかしい？？
・・・約分できそうやけど、、見直しもあるし。。時間が・・
ということになりかねません。
ここでは、どんな場合も次の手順どおりにすれば効率的に約分できるか見極める方法を紹介します。
（５）は数学検定１級レベルの問題です。
３つの手順
① 2・3・5 の倍数の性質
② 素因数分解
③ ユークリッドの互除法
2・3・5 の倍数の性質 ★★★
いきなりですが、
（問題）次の数字は３の倍数か？？
\(\Large{11112}\)
解答
３の倍数である。
この問題がわからない人は、約分を忘れてしまう可能性が高いです。
2,3,5 の倍数には次のような性質があります。
- ２の倍数 ・・・・ 偶数
- ５の倍数 ・・・・ 下一桁が0,5
- ３の倍数 ・・・・ 各桁の和が３の倍数
２の倍数と５の倍数の性質は当たり前ですが、３の倍数の性質を利用している人が少ないと感じています。
確認！
\(\Large{11112}\)
1 + 1 + 1 + 1 + 2 = ６ ・・・３の倍数
また、各桁の和が３の倍数でないなら、３の倍数ではないです。
なんで？？ となっている人に簡単に
証明
abc という３桁の自然数がある。
①３桁の自然数は 100×a + 10×ｂ + c である。
②３桁の自然数の各桁の和はa + b + c であり、定義より３の倍数である。
つまり、a + b + c = 3 × k ということ。・・（ｋは不定）
①②より
100a + 10ｂ + c
= 99a + 9b + ( a + b + c )
= 3 × ( 33a + 3b ) + 3 × k
= 3 × ( 33a + 3b + k )
よって ３桁の自然数は３の倍数である。
※ちなみに何桁でも同様にすれば、証明可能です。（ ⇐ ）も可能です。
これで、（１）・（２）は間違うことはなくなります。(3)は後ほど出てきます。
(1)\(\frac{6}{21}=\frac{2×3}{7×3}=\frac{2}{7}\)
(2)\(\frac{7}{35}=\frac{7}{5×7}=\frac{1}{5}\)
(3)\(\frac{141}{611}=\frac{3×47}{13×47}=\frac{3}{13}\)
素因数分解
素因数分解と言うと、難しそう。。と感じるかもしれませんが、
単純に数字を、素数と因数に分解することです。
素数とは？
１と自分自身以外に約数をもたない正の整数
\(2,3,5,7,11,13,17・・・\)
因数とは？
１つの数や整式が、いくつかの数や整式の積の形で表されるときの、その個々の数や整式のこと
\(30=6×5,36=2×6×3,\)
つまり、素因数分解とは簡単に
素因数分解
（素数）×（素数）の形に分解すること
\(30=6×5=2×3×5\)
\(36=6×6=2×2×3×3\)
（素数） × （素数） という形に分解することです。
素因数分解と2,3,5の倍数と７の倍数で約分はほぼいけます！！
そのことを説明していきます。
2から100までの数字
まず2から１００までの数字を２つに分ける。
2から１００までの数字
①２，３，５,７の倍数の数・・・・・・・７７個
②素数の数（２，３，５以外）・・・・・２２個
１から１００までの数字において、素数を見つけるには
- ２，３，５の倍数を考えれば、ほぼ終わり！
- ７の倍数を考える
- 違うなら、素数！！
この手順で、１００まで素因数分解の有無がわかります。
問題
４７は素数ですか？？
解答
素数です。2,3,5,7の倍数ではない。
なぜ、素因数分解をするように言っているのか？？
（問題）次の分数は約分できますか？？
(1)\(\frac{29}{87}\)
(2)\(\frac{222}{455}\)
解答
(1)できる。(2)できない。
(1)\(\frac{29}{87}=\frac{29}{3×29}=\frac{1}{3}\)
(2)\(\frac{222}{455}=\frac{2×3×37}{5×7×13}\)
素因数分解すれば、簡単になることが多々ある！！ってことなんです。
これで、ほとんどの約分ができます！
はじめの(3)
\((3)\frac{141}{611}\)
①141が３の倍数なので素因数分解できます。
\(\frac{141}{611}=\frac{3×47}{611}\)
② 47 は素数であり、3と47で約分できるか確認。611 は 3の倍数ではないので47で考える。
\(\frac{3×47}{611}=\frac{3×47}{13×47}=\frac{3}{13}\)
しかし、少しやっかいな問題。はじめの（４）。
問題 約分できますか？？
\((4)\frac{391}{437}\)
解答
できます。
391も437も2,3,5の倍数ではないので、結構大変。。
こうなれば素数かどうかを判断しないといけません。そこで、２つの数字のうち小さい数字を選びます。
そして、ここでは391。
解説
391は20×20=400よりも小さい。とゆーことは、それ以下の素数を調べればよい。
３９１は｛2,3,5,7,11,13,17,19} の素数を１つずつ割れるか確認する作業で求まります。最高８回の作業で素数かどうか、わかります。
①７で割る。１１で割る。１３で割る。１７で割る・・・割り切れた！
\(391=17×23\)
４３７を１７と２３で割れるか確認。４３７＝１９×２３と分解できます。
よって
\((1)\frac{391}{437}=\frac{17×23}{19×23}=\frac{17}{19}\)
ここまでで３桁までの約分であれば、少し手間がかかることがありますが、問題なくできることが分かったと思います。この知識があれば、約分で困ることはありません。
次から難易度が上がります。中学受験の問題や数学検定などにも出題されます。
ユークリッドの互除法
この問題を初見で解ける人は、数学的センスと計算力はかなり高いと思います。素数かどうかの判断は、その人の直感力によります。（因みに私は、この数字を見て、素数かどうか判断できないです・・ラマヌジャンやオイラーなどは一瞬で解きそう（笑））
直感力に頼れなければ、どうすればいいのか？？
紀元前３世紀頃、今から２０００年以上も昔、アレクサンドリアのユークリッドという数学者が残した「原論」という書籍の中に、２つの数の最大公約数をみつける「ユークリッドの互除法」という方法が記されています。
２つの数の最大公約数をみつけることが出来れば、約分することが可能です。
まずは、２７と１５の最大公約数をユークリッドの互除法を使って求めてみます。
２７と１５の最大公約数
これをユークリッド互除法を使って確認していきます。
- ①２７÷１５＝１余り１２
- ②１５÷１２＝１余り３
- ③１２÷３＝４余り０
ユークリッドの互除法を使うと、いつかは必ず割り切れます。
そして、その時に割った数が最大公約数になります。この場合、最後に割った数は、３なので、最大公約数は３となります。
最後にこの問題を求めてみます。
\(\frac{5609}{7739}=\)
ユークリッドの互除法を使うと、
ユークリッドの互除法
- ７７３９÷５６０９＝１余り２１３０
- ５６０９÷２１３０＝２余り１３４９
- ２１３０÷１３４９＝１余り７８１
- １３４９÷７８１＝１余り５６８
- ７８１÷５６８＝１余り２１３
- ５６８÷２１３＝２余り１４２
- ２１３÷１４２＝１余り７１
- １４２÷７１＝２余り０
ゴール！！
５６０９と７７３９の最大公約数が７１とわかりました！！（思ったよりながい(笑)）
\(\frac{5609}{7739}=\frac{71×79}{71×109}=\frac{79}{109}\)
となります。
先人の知恵は本当にすごいです。
まとめ
いかがでしたか？
この内容を簡単にまとめると、
- ３の倍数を考える
- 素因数分解
- 最終手段 ユークリッドの互除法
で約分できるかどうか判断可能です。
読みづらい所もあったと思いますが、長い文章に付き合っていただきありがとうございました。