また失敗。。約分忘れをなくす簡単な３つの手順とは？

\((1)\Large{ \frac{6}{21}=}\)

 

 

\((2)\Large{\frac{7}{35}=}\)

 

 

\((3)\Large{\frac{141}{611}=}\)

 

 

\((4)\Large{\frac{391}{437}=}\)

 

 

\((5)\Large{\frac{5609}{7739}=}\)

 

※後ほど解答しています。

 

（１）、（２）のような九九程度の約分は、2・３・５の倍数を考えれば大丈夫。

 

 

（３）、（４）、（５）のような場合、約分は一気に難しくなります。確率など記述式の問題で、折角解けているのに

 

ということになりかねません。

 

ここでは、どんな場合も次の手順どおりにすれば効率的に約分できるか見極める方法を紹介します。

 

（５）は数学検定１級レベルの問題です。

 

　2・3・5　の倍数の性質　　★★★

いきなりですが、

 

（問題）次の数字は３の倍数か？？　

 

\(\Large{11112}\)

 

 

 

 

この問題がわからない人は、約分を忘れてしまう可能性が高いです。

 

 

2,3,5 の倍数には次のような性質があります。

 

 

２の倍数と５の倍数の性質は当たり前ですが、３の倍数の性質を利用している人が少ないと感じています。

 

 

 

なんで？？　となっている人に簡単に

 

 

※ちなみに何桁でも同様にすれば、証明可能です。（　⇐　）も可能です。

 

これで、（１）・（２）は間違うことはなくなります。(3)は後ほど出てきます。

 

(1)\(\frac{6}{21}=\frac{2×3}{7×3}=\frac{2}{7}\)

 

 

(2)\(\frac{7}{35}=\frac{7}{5×7}=\frac{1}{5}\)

 

 

(3)\(\frac{141}{611}=\frac{3×47}{13×47}=\frac{3}{13}\)

 

素因数分解　

素因数分解と言うと、難しそう。。と感じるかもしれませんが、

 

単純に数字を、素数と因数に分解することです。

 

 

 

つまり、素因数分解とは簡単に

 

（素数）　×　（素数）　という形に分解することです。

 

 

素因数分解と2,3,5の倍数と７の倍数で約分はほぼいけます！！

 

そのことを説明していきます。

 

2から100までの数字

まず2から１００までの数字を２つに分ける。

 

１から１００までの数字において、素数を見つけるには

 

この手順で、１００まで素因数分解の有無がわかります。

 

 

 

なぜ、素因数分解をするように言っているのか？？

 

 

（問題）次の分数は約分できますか？？　

 

(1)\(\frac{29}{87}\)

 

(2)\(\frac{222}{455}\)

 

 

 

 

(1)\(\frac{29}{87}=\frac{29}{3×29}=\frac{1}{3}\)

 

 

(2)\(\frac{222}{455}=\frac{2×3×37}{5×7×13}\)

 

 

素因数分解すれば、簡単になることが多々ある！！ってことなんです。

 

 

これで、ほとんどの約分ができます！

 

 

 

 

しかし、少しやっかいな問題。はじめの（４）。

 

問題　約分できますか？？

\((4)\frac{391}{437}\)

 

 

 

391も437も2,3,5の倍数ではないので、結構大変。。

 

こうなれば素数かどうかを判断しないといけません。そこで、２つの数字のうち小さい数字を選びます。

 

そして、ここでは391。

 

 

４３７を１７と２３で割れるか確認。４３７＝１９×２３と分解できます。

 

よって

 

\((1)\frac{391}{437}=\frac{17×23}{19×23}=\frac{17}{19}\)

 

ここまでで３桁までの約分であれば、少し手間がかかることがありますが、問題なくできることが分かったと思います。この知識があれば、約分で困ることはありません。

 

 

 

次から難易度が上がります。中学受験の問題や数学検定などにも出題されます。

　ユークリッドの互除法

\((1)\frac{5609}{7739}=\)

 

 

 

この問題を初見で解ける人は、数学的センスと計算力はかなり高いと思います。素数かどうかの判断は、その人の直感力によります。（因みに私は、この数字を見て、素数かどうか判断できないです・・ラマヌジャンやオイラーなどは一瞬で解きそう（笑））

 

 

直感力に頼れなければ、どうすればいいのか？？

 

 

紀元前３世紀頃、今から２０００年以上も昔、アレクサンドリアのユークリッドという数学者が残した「原論」という書籍の中に、２つの数の最大公約数をみつける「ユークリッドの互除法」という方法が記されています。

 

 

２つの数の最大公約数をみつけることが出来れば、約分することが可能です。

 

 

 

まずは、２７と１５の最大公約数をユークリッドの互除法を使って求めてみます。

 

 

 

ユークリッドの互除法を使うと、いつかは必ず割り切れます。

 

そして、その時に割った数が最大公約数になります。この場合、最後に割った数は、３なので、最大公約数は３となります。

 

 

 

最後にこの問題を求めてみます。

 

\(\frac{5609}{7739}=\)

 

ユークリッドの互除法を使うと、

 

 

５６０９と７７３９の最大公約数が７１とわかりました！！（思ったよりながい(笑)）

 

\(\frac{5609}{7739}=\frac{71×79}{71×109}=\frac{79}{109}\)

 

となります。

 

 

先人の知恵は本当にすごいです。

 

　まとめ

いかがでしたか？

 

 

この内容を簡単にまとめると、

で約分できるかどうか判断可能です。

 

 

読みづらい所もあったと思いますが、長い文章に付き合っていただきありがとうございました。