「今日雨が降る確率は８０％」
「単チェで大当たりする確率２５％」
「南海トラフ地震が３０年以内に発生する確率は７０％」
などなど普段生活している中で、当たり前のように確率を使っています。
現在では、データを分析する「統計」と一緒に研究されて、至るところで利用されています。
確率というのは、いつから考えられてきたのだろうか？？
イタリアのギャンブラー
９と１０どっちが多い
１７世紀イタリアのギャンブラー達が、ある酒場で頭を悩ませている。
「３つのサイコロの目の合計が９になる場合と１０になる場合を比べると、どちらが多いか。」
という問題だ。
合計が９
\((1,2,6)(1,3,5)(1,4,4)(2,2,5)(2,3,4)(3,3,3)\)
の６通りである。
合計が１０
\((1,3,6)(1,4,5)(2,2,6)(2,3,5)(2,4,4)(3,3,4)\)
の６通りである。
同じ６通りなので、確率は同じになりそうだが、ある数字のほうが多く出てしまう。
どちらの数字が多く出るか？？
①９
②１０
解答
②１０である。
解説
このギャンブラー達は「順列」と「組み合わせ」を理解していなかった。
確率について考える際には、「順列」か「組み合わせ」か慎重に見極めなければいけない。この場合、３つのサイコロを区別すべきで「順列」を考えないといけない。
例えば 大・中・小 のサイコロであれば区別していたはずだからである。
合計が９になる場合
(1,2,6)で考える
\((1,2,6)(1,6,2)(2,1,6)(2,6,1)(6,1,2)(6,2,1)\)
と6通りある。
(1,4,4)で考える
\((1,4,4)(4,1,4)(4,4,1)\)
の3通りとなる。
このように考えると、
- 合計が９になるのは２５通り
- 合計が１０になるのは２７通り
１０の方が多く出やすい。
この問題を解決したのが、イタリアのガリレオ・ガリレイである。
本格的な確率論
ガリレオが先ほどの問題を解決した同時期に、
フランスの大数学者パスカルとフェルマーも確率について手紙のやり取りをしていました。
本格的な確率論は、２人が交わした手紙から始まったと言われています。
そして、２人のきっかけもギャンブルからでした。
問題 勝つ確率
ギャンブル好きの貴族２人が、コインの表と裏を当てるというギャンブルで
ルール
- Aがコインを投げ、Bが表か裏かをいい当てる
- Bが当てればBの勝ち、間違えればAの勝ち
- 先に３勝した方が勝ち
という取り決めをした。
今３回コインを投げ、Aが２勝 Bが１勝となっている。
この後、Aが勝つ確率は何パーセントか？？
解答
７５％
解説
４回目にAが勝つ確率
\(\frac{1}{2}\)
4回目にAが負けて、５回目に勝つ確率（乗法定理を使用）
\(\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
Aが最終的に勝つには、４回目で勝つ確率と５回目で勝つ確率を足し合わせる（加法定理を使用）
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
よって７５％である。
ギャンブル好きのメレという貴族が、パスカルに質問したことから確率論に発展していきました。（正確には、この状況の時にギャンブルをやめた場合に分配はどうすればいいのか？？という質問）
この問題で、乗法定理と加法定理という非常に重要なことがわかっています。
ギャンブルから始まった確率という分野が、今では統計学という専門分野に使われテレビの視聴率・保険の掛け金の設定・天気予報・学力テストの偏差値 など
様々な研究に役立っているのは、「実に面白い！」