数の歴史(実数)

B!

 

「お母さん、100円ちょーだい。」

 

「明日7時に起こして。」

 

 

など、日常生活で当たり前のように数字を使っていると思います。

 

 

数字は古代から使用されていて、数字はものを数える中で生み出された人類の知恵です。

 

 

そして、長い年月をかけて今の数字の考え方までたどり着いています。

 

 

ここでは、数の歴史について紹介していきます。

 

実数

自然数

この図を見比べて、共通点を考えるときに

 

 

人間の頭の中に浮かぶのが「2」という考え方でした。

 

 

そして、この考え方が「自然数」という概念となりました。

 

 

自然数とは 1,2,3・・・ のような 正の整数 

 

\(5+7=12\)

 

自然数に自然数を足せば、必ず自然数になります。

 

\(5×7=35\)

 

自然数に自然数をかけても、必ず自然数になります。

 

これで大きい「個数」でも、簡単に計算できるようになりました。

 

分数

しかし、5mを7等分した長さなど

 

\(5÷7=??\)

 

自然数に自然数で割れば、自然数にならない数字が出てきました。

 

そこで5mを7等分した長さを\({\frac{5}{7}}\)のように表し

 

これらを分数と決めました。

 

有理数

 

自然数分数を合わせて有理数になりました。
(現在の有理数とはまだ解釈が違います!!)

 

自然数では「個数」の計算しかできませんでしたが、

 

有理数では、長さ・重さ・面積など「量」を数で表すことが可能となりました。

 

ピタゴラスの非情

三平方の定理で有名なピタゴラスは、

 

「有理数が数のすべてであり、有理数であらわせないものはない!!」

 

とピタゴラス教団で弟子達に説いていました。

 

ところが、弟子のヒッパソスが、

 

「・・・有理数では決してあらわせない量がある」

 

ということを発見してしまいました。

 

これに激怒したピタゴラスはヒッパソスを溺死させてしまいます。

三平方の定理

\(\Large{x^2 + y^2 = z^2}\)

 

 

無理数

ヒッポソスが発見した「有理数ではあらわせない量」は正方形の対角線に潜んでいました。

 

1辺の長さが1の正方形の対角線の長さは、三平方の定理より

 

\(x^2 + y^2 = z^2\)から

 

 

\(\Large{1^2 + 1^2 = 2}\)となります。

 

 

つまり、\(\Large{ z^2 = 2}\)です。

 

 

これは、対角線の長さは2乗して2になる数 ということです。すなわち2の平方根。

 

 

こんな有理数を見つけることは決してできません。

 

 

自然数の分数であらわすことのできない数無理数と決めました。

 

 

\(\Large{\sqrt{2}=1.41421356・・・}\)

 

\(\Large{\pi=3.14・・・・}\)

 

 

0という考え

私たちは、普通に「0」を数字として扱っていますが、実は長い間0は数字としてみなされませんでした。

 

そして、0という考えは様々な人を悩ませていました。

 

\(\Large{0-4=?}\)

 

この答えはー4です。

 

 

正の数・負の数を習っていればすぐにわかると思います。

 

 

しかし「人間は考える葦である」で有名な数学者パスカルの答えは、

 

パスカル
\(\Large{0-4=0}\)

 

と考えました。ゼロは何もない無だから、何も引けないという考えです。

 

 

\(\Large{4÷0=??}\)

 

 

0の割り算はもっと大変です。どう考えればいいのか??

 

 

\(4÷0=a\)とします。

 

 

すると、\(4=a×0\)となり、

 

 

aがどのような値をとっても、\(\Large{4=0!?}\)となります。

 

 

このように0は、取り扱い方によって数学を崩壊させる力を持っていました。

 

 

ヨーロッパでは敬遠されていて、ゼロを数としてみなしたのはインドが最初といわれています。

 

 

負の数という考え

「-30℃の世界」

 

「-15点」

 

など現在は生活の中にも、負の数が使われています。しかし、負の数も0と同じでした。

 

 

ヨーロッパでは2次方程式の解などで、負の数があることを知っていました。

 

 

しかし、実生活では何の役にも立たないので、意味のない数として扱われていました。

 

インドの銀行

負の数を実生活でも利用していたのが、0と同じインドでした。特に銀行で利用されていました。

 

 

銀行では、毎日たくさんの人がお金を預けたり・お金を借りたりしています。

 

 

マイナスという考えがなければ、計算が大変なんです。

 

計算
銀行にお金を借りて、50,000円の借金をしたとします。次の月に、3,000円お金を返済しました。またその次、5,000円返済。その次の月、苦しくて20,000円お金を借りました。

 

さて、今いくらお金を借りていますか??

 

 

・・・この問題少しややこしくないですか!?

 

 

これを

\(貯金 → +円\)とし

\(借金 → -円\)のようにマイナスを使えば

 

計算
-50,000+3,000+5,000-20,000=-70,000+8,000=-62,000

 

 

となり、62,000円借金となります。

 

 

このほうが計算も楽になり、管理するのも簡単になります。

 

 

※ヨーロッパで0や負の数が認められたのは16世紀ぐらいと言われています。

 

 

(因みにフィボナッチ数列で有名なフィボナッチが、ヨーロッパで0や負の数という考えを広めたように言われています。)

 

これで、自然数・分数・0・負の数という考えが一般的に理解されました。

 

 

そしてこれらが、現在の有理数となっています。

 

 

有理数無理数を合わせて実数となりました。

 

 

次回、虚数。

 

 

 

 

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