素数とはなぜ数学者の胸を熱くするのか？【不思議な性質】

素数の世界へようこそ。あなたも数学マニアの素質ありです（笑）

 

 

ここでは、素数の不思議な性質など素数についての謎をわかりやすく追求していきたいと思います。

 

 

 

素数は謎に満ち溢れ、多くの数学者が生涯を捧げて研究してきました。しかし、未だに謎に包まれいる部分がほとんどであり、現在に至ってます。

 

 

 

 

「素数は宇宙を構成する」

 

 

 

ちょっと大げさにいいすぎじゃないの？？って思うかもしれませんが素数を知れば知るほどそう思えてくるんです。

 

 

さて、前置きはこの辺で素数の世界へはいっていきましょう。

 

はじめに

 

素数の不思議な性質などを紹介する前にまずは、素数について紹介します。

 

 

素数とは何なのか？どういう風に定義されているのか？

 

 

 

 

定義を見るだけではイマイチわかりにくいので、2つにわけて考えてみます。

 

 

 

①１より大きい自然数

 

まずは素数とは①１より大きい自然数であるっていうことです。

 

 

\(2,3,4,5,・・\)

 

 

2以上の自然数ということです。

 

②正の約数が１と自分自身のみ

 

次に正の約数が１と自分自身のみというのは、②約数が２つしかないってことです。

 

 

\(4の約数は1,2,4\)

 

\(7の約数は1,7\)

 

 

4は約数は３つあり、７は約数が２つ。

 

 

4は素数ではなく、７が素数！

 

素数とは？？

 

①２以上の自然数であり、②約数が２つしかない数です。

 

 

ここまでで疑問に思うのが、なぜ１を素数ではないのか？？

 

 

 

 

素因数分解をするとわかります。

 

 

６の素因数分解は2×３ですが、１を含めると1×２×３、1×1×2×３など無数にできます。こんな定義ははっきり言って美しくないですね。なので、１を省いています！

 

 

 

それでは、本題の非常にユニークな素数の性質を紹介していきたいと思います。

 

素数の不思議な性質

 

素数にはとても面白い性質があります。

 

①ものすごく気まぐれ

素数は猫のように気まぐれです。数学者に従順に甘えているかと思えばふとした瞬間に離れていきます。

 

 

どんな数学者でも、とどめることは困難です。

 

①素数のある規則性！？

 

１７世紀の数学者は素数のある規則性を発見しました。

 

 

２桁のみ素数で、残りは素数ではない！！というような発見をしました。

 

 

 

 

 

 

しかし、次の１９桁目

 

 

 

\(1111111111111111111\)

 

 

素数。。。

 

 

 

 

エラトステネスの篩

 

 

 

③素数は無限に存在する！？

素数は無限に存在するのか！？ということですが、ここではまず小学生の知識で考えていきます！

 

 

素数を１００ごとに数えていけば、

 

 

となってます。次に１００００までの個数をご覧ください。

 

 

 

となっており、数が大きくなるほど徐々にですが素数が減っていることがわかります。この考えでいけば無限には存在しないのでは・・・と思えます。しかし、約２３００年前にユークリッドが「原論」の中で無限であることを証明しています！！

 

 

 

 

 

ちなみに、現在知られている最大素数は2486万2048桁の巨大な数です。GIMPSが発見しました。GIMPSとはメルセンヌ素数を発見するのを目的として発足しています。

 

 

④自然界の素数　素数ゼミ

 

Martin Hauser - <span class="int-own-work" lang="ja">投稿者自身による作品</span>, CC 表示-継承 2.5, リンクによる

 

このセミは北アメリカ東部に生息する周期ゼミです。１３年、１７年おきに大量発生する不思議なセミです。

 

1. 素数ゼミってどんなセミ？

素数ゼミは、主にアメリカの東部などに住んでいるセミの仲間（学名：Magicicada）のことです。

一番の大きな特徴は、そのライフサイクル（寿命・成長の期間）にあります。なんと、彼らは13年または17年という、どちらも「素数（そすう）」の年数だけ土の中でじっと過ごし、その年になると一斉に地上に出てきます。

日本のセミはだいたい1〜数年で大人になるけれど、13年や17年というのは昆虫界でもトップクラスの長さです！

２. なぜ「素数の年」に地上に出てくるの？（生き残りの大作戦）

「どうして12年や15年じゃなくて、13年や17年なの？」という疑問がわきますよね。これには、大昔から生き残るためのすごい戦略（理由）が隠されています。

① 天敵（てんてき）と出会いにくくするため

自然界には、セミを食べる鳥などの天敵がいます。もし、天敵のライフサイクルが「2年」や「3年」だったと仮定してみましょう。

• もしセミが 「12年周期」 だとすると、約数に2や3、4や6などがいっぱいあるため、2年周期や3年周期の天敵と何度もタイミングが合ってしまい、食べられて滅んでしまうかもしれない。

• でも、セミが 「13年や17年（素数）」 だと、他の生き物（2年、3年、4年周期などの生き物）のライフサイクルと重なる回数がものすごく少なくなる！

  • 例えば、2年周期の天敵と13年周期のセミが出会うのは、なんと 26年（2×13）に1回 だけ。

② 他の「素数ゼミ」同士の交雑（こうざつ）を防ぐため

森の中には、13年ゼミと17年ゼミが同じ場所に住んでいることもあります。 もし彼らが「12年」と「16年」などだったら、4年ごとにタイミングがぴったり合流してしまい、違う種類のセミ同士が交尾して、せっかくの進化のバランスが崩れてしまう可能性があります。 でも、13と17の最小公倍数は $13 \times 17 = 221$年。つまり、221年に1回しか同時に地上に出てこないため、違う種類のセミと混ざらずに、自分の血統をしっかり守ることができるんだ。

3. 地上に出てくるときのお祭り騒ぎ

13年や17年の間、ずっと土の中で木の根っこの汁を吸いながら大人になるのを待つ素数ゼミですが、いざ地上に出てくる年はすさまじい数になります。

• 数兆匹とも言われる単位のセミが一斉に木から出てきて、大合唱を始めます。

• あまりに数が多すぎて、鳥などの天敵がお腹いっぱいになっても食べきれないほど！これを「飽食（ほうしょく）戦略」と呼びます。全体のほんの一部は食べられてしまうけれど、残りの圧倒的な大群が生き残って無事に卵を産むことができるんだよ。

• 地上に出てきてからは数週間で命を終えてしまいますが、その後の世代はまた次の13年・17年の眠りにつきます。

 

マニアックな素数

 

ここからは少し話しが難しくなりますが、できるだけ素数の神秘さがわかるように説明していきます。

 

素数の謎に挑戦してきた数学者は数多い。その中でも素数の秘密に最も近づいた数学者達の足跡をたどりながら素数の不思議さを紹介します。

 

レオンハルト・オイラー

レオンハルト・オイラーの肖像画. 出典: Wikimedia Commons

オイラーが発見したすごすぎる数式

オイラーが見つけた数式の中で、素数と深く関わる一番有名なものがこちらです（高校数学で習う内容ですが、雰囲気を感じてみましょう！）。

「うわ、なんだこの難しそうな記号は……！」と思うかもしれませんが、中学生向けにかみ砕いて説明しますね。

左側：ぜんぶの自然数の世界

左側の Σは「足し算をずっと続けるよ」という意味です。 分母に 1, 2, 3, 4 ...とすべての自然数をいれて、逆数を無限に足していくとこうなります。

右側：素数だけの世界

そして、右側のΠ（パイ）は「かけ算をずっと続けるよ」という意味ですが、なんとここに登場するのは「素数 (2, 3, 5, 7 ....)」だけです！

つまりこの式が言っているのは、

「すべての自然数を足し合わせた世界（左側）と、すべての素数をかけ合わせた世界（右側）は、完全にイコールでつながっている！」

ということです。

あんなにバラバラに見える「ただの自然数」と「特別な素数」が、無限の世界でこんなきれいな式で結ばれているなんて、当時の数学者たちもひっくり返るほど驚きました。

必ず「2つの整数の2乗の足し算」で表せることを証明しました。

 

素数と円周率のつながり

 

 

ステップ1：分数の「2乗」を無限に足してみる

まずは、すべての自然数の2乗の逆数を、果てしなく足し算してみます。

「この無限の足し算の答えはいったいいくつになるのか？」という当時の数学者たちの難問

バーゼル問題！！！

若き日のオイラーが解き明かしました。

その答えが、なんとこれです！

「なんでここで突然、円周率

$\mathrm{<span\; style="font-family:\; 游ゴシック体,\; \text{'}游ゴシック\; Medium\text{'},\; \text{'}Yu\; Gothic\; Medium\text{'},\; 游ゴシック体,\; YuGothic,\; \text{'}ヒラギノ角ゴシック\; Pro\text{'},\; \text{'}Hiragino\; Kaku\; Gothic\; Pro\text{'},\; メイリオ,\; Meiryo,\; Osaka,\; \text{'}ＭＳ\; Ｐゴシック\text{'},\; \text{'}MS\; PGothic\text{'},\; sans-serif;">が出てくるの！？」と、当時の学者たちもひっくり返るほど驚きました。</span>}$

$$

ステップ2：素数の「かけ算」に変身させる

ここで、先ほどもお話しした、オイラーが発見した「素数の積公式」の出番です。

「すべての自然数を足し合わせたもの」は、実は「すべての素数を使ったかけ算の式」に完全に変形できるという魔法のルールがありました。

出てくる下側の数字を見てください。

$2, 3, 5, 7 \dots$

2,3,5,7… と、すべて「素数」しかいません！

なぜ、このつながりがすごいの？

数学の世界には、大きく分けて次の2つの「別の世界」があります。

1. 図形や円の世界π

2. 数や素数の世界（かけ算や割り算が住んでいる場所）

中学生の感覚だと、「円のまわりの長さ」と「素数（1と自分自身でしか割れない数）」に関係があるなんて、微塵も思わないですよね。

しかしオイラーは、「宇宙のルールを深掘りしていくと、まったく関係なさそうな場所で、円周率と素数ががっちり手をつないでいる」ということを数式で証明して見せたのです。

数学者たちは、この神秘的なつながりを見て、「数学の公式や数字の裏側には、人間がまだ知らない、もっと深くて美しいひとつの巨大な宇宙（真理）が隠されているんだ」と感じました。

素数を眺めているだけで、円の形や円周率が顔を出す――これこそが、数学の最高にロマンチックなところです！

 

ガウス

カール・フリードリヒ・ガウスの肖像画. 出典: WikiArt.org

ガウスと「素数」の物語

オイラーが素数の「ルール」や「お部屋」を見つけたのに対し、ガウスは「素数がどれくらいの頻度で、どれくらいの密度で現れるのか」という大いなる謎に、少年時代から挑み続けました。

1. 少年時代からの「素数リスト」の観察

ガウスは10代の頃から、手元に分厚い対数表（数字の計算を助ける表）を置き、その余白に自分で調べた素数を何千個も書き留めて観察していました。 「素数はランダムにバラバラに出現しているように見えるけれど、全体で見ると、ある美しい『割合』で減っていくのではないか……？」 ガウスは、若くしてその法則性に気がつきました。

2. 「素数定理」の予想（どのくらいの割合で素数が出る？）

ガウスが若い頃に見抜き、のちに数学者たちが証明したのが「素数定理」です。

自然数 xまでの中に、素数がだいたい何個あるかを表すおおよその式は、以下のようになります。

• π(x)： x以下の素数の個数（円周率の π とは別物で、素数の数を表す記号です）

• log x： 中学生のうちはまだ馴染みがないかもしれませんが、「自然対数」という高校数学で習うもの。

この式が何を言っているかというと、「数字が大きくなればなるほど、素数を見つける確率はだんだん低くなっていく。その減り方は ＄$\frac{1}{\log x}$＄ というきれいなカーブに従っているんだよ」ということです。 ランダムに見える素数の出現に、実はなめらかな「確率のルール」が隠れていることをガウスは見抜いたのです。

3. 「合同式（ごうどうしき）」という強力な武器を発見

ガウスは、素数を研究しやすくするために「合同式」という画期的な計算ルールを発明しました（中学生でも高校でも、学校の授業ではあまり習わない、大学レベルの強力な数学ツールです）。

たとえば、「時計の針は12時の次が1時（13時ではなく）」になりますよね。これと同じように、「ある数で割ったときの『余り』だけに注目して計算する」という仕組みです。 この合同式のおかげで、素数の複雑な性質や割り算のルールがものすごくスッキリと計算できるようになり、現代の暗号理論でも大活躍しています。

中学生におなじみ？ ガウスの伝説のエピソード

ガウスといえば、小学生（または中学生）のときに先生から出された問題の逸話が有名です。

問題： 1 から 100 までをぜんぶ足したらいくつになるか答えなさい。

ふつうの人は 1+2+3+4 と地道に足していきますが、少年ガウスは一瞬で答えを出して大人たちを驚かせました。

• 1 + 100 = 101

• 2 + 99 = 101

• 3 + 98 = 101 ……というペアが全部で 50 個できるので、

  $$101 \times 50 = 5050$$

  と、頭の中で一瞬にして計算してしまったのです。

オイラーが「素数と無限のつながり」を発見し、ガウスが「素数の全体の姿（どれくらい隠れているか）」を統計的・法則的に見破ったことで、現代の「数論（整数論）」の土台が完成しました。