最短距離になるにはどうすれば？（微分実用問題）

 

高速道路を作る！

 

アイルズベリー、ビールズベリー、シールズベリー、ディールズベリーという４つの町があり、これらは1辺１ｋｍの正方形の各頂点にあります。

 

 

 

 

 

 

 

 

この４つの町をすべて高速道路で結ぶように仕事の依頼がきた。

 

 

 

費用を抑えるために、最短距離で結びたい。どうすれば最短距離になり、最短距離は何kmだろうか？？

 

 

 

解説(間違った考え）

 

ほとんどの人がやってしまう間違いをまずは解説します。

 

 

 

最短距離ということで、感覚的に直線で結ぶと思ってしまいます。実際に２点ABで考えてみると最短距離は、直線で結んだ距離になります。

 

 

 

なので、この問題の場合は、

 

 

 

 

 

このように、2本の対角線を結んでしまいます。

 

三平方の定理

 

 

となり、約2.82kmとなりますが、これは正解ではありません。

 

解説（正しい）高校生以上向け

 

 

 

 

 

これが答えの形です。

 

 

 

では、最短距離になるにはxがどの値になるのか？

 

 

X=0に代入すると、

\(4×\sqrt{0^2+\frac{1}{4}}+1-2×0\)

 

\(4×\frac{1}{2}+1=\Large{3}\)

 

となります。

 

 

 

x=1/2に代入すると、

 

 

 

 

 

先ほどの形となり、\(\Large{2\sqrt{2}}\)となります。

 

 

xを0.1、0.2としていけば、近いところにできます。

 

 

しかし最短になるのは、ものすごく大変です。

 

 

 

ここで登場するのが、「微分」です！！

 

 

ここから読むの根気が要ります。

 

微分とは、瞬間の変化率を求めることです！

 

 

瞬間の変化率とは、つまり「接線の傾き」のことで、この傾きが０の時に、極大か極小値が求まります。

 

 

ただ、合成関数の知識などが必要なので、簡単に3点ほど説明。

 

 

 

x^nの導関数の例題

\(f(x)=3x^2+5x+2\)の関数を微分。

 

 

\(f'(x)=2×3x^{2-1}+5×x^{1-1}\)

 

 

\(f'(x)=6x+5\)

 

※x^0=1となります。

 

 

合成関数の例題

\(f(x)=(x^2+1)^3\)を微分。

 

 

合成関数の公式より

 

\(f'(x)=3(x^2+1)^2×2x=6x(x^2+1)^2\)

 

 

 

 

 

 

この知識があれば、

 

 

次の解説もわかると思います。

 

（解説）

\(xの定義域は、0≦x≦\frac{1}{2}\)

 

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}=(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}\)とあらわす。

 

（計算）

\(f'(x)=(4×(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}+1-2x)'\)

 

 

\(=4×\frac{1}{2}×(x^2+\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}×2x-2\)

 

 

\(=4x×(x^2+\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}-2\)

 

 

\(=\frac{4x}{(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}}-2\)

 

 

これでは今一つわかりずらいので、グラフで確認したいと思います。

 

 

そこで、

 

 

\(xの定義域は、0≦x≦\frac{1}{2}\)

 

 

なので、X=0のときと、X=1/2のときの増減を確認していきます。

 

 

 

 

こういうグラフが予想されます！

 

 

 

 

 

 

 

このグラフの？？？を求めれば、最短距離がわかります。

 

 

しかし、どうすればいいのか？

 

 

これは、この瞬間の変化が０のとき、求めることができます！

 

 

つまりf'(x)=0とすれば、接線の傾きが0になるので、この？？？がわかります。

 

 

ここでXの値がわかったので、？？？の値は、

 

 

\(f(x)=4×\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}+1-2x\)

 

の式に\(x=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)を代入すれば求めれます。

 

 

よって、2.73kmとなります！

 

シュタイナー木問題

 

この問題は、シュタイナー木問題と呼ばれています。特にこの正方形の形は有名です。

 

 

日本数学オリンピックの予選にも出題されました。(1993)

 

 

 

 

 

最後に平面上3点のシュタイナー木問題を簡単に紹介します。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

このことを知っていたとして、先ほどの問題を考えていきます。

 

まずは、この形にします。

 

 

そして、交わる点をPとして、⊿ABPと⊿CDPで考えてみます。

 

 

 

 

 

 

２つの三角形はどの内角も１２０°を超えていないため、最短距離は三角形の内側になり、その角度は１２０°となる点になります。

 

 

 

 

よって、この形となります。

 

 

最短距離については、直角三角形の30°,60°,90°の1:2:√3の法則を知っていれば簡単です。

 

\(1:\sqrt{3}=x:\frac{1}{2}\)

 

 

\(\sqrt{3}x=\frac{1}{2}\)

 

 

\(x=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

 

 

このようにして、解くことも可能です。