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高速道路を作る!

 

アイルズベリー、ビールズベリー、シールズベリー、ディールズベリーという4つの町があり、これらは1辺1kmの正方形の各頂点にあります。

 

 

 

 

 

 

 

 

この4つの町をすべて高速道路で結ぶように仕事の依頼がきた。

 

 

 

費用を抑えるために、最短距離で結びたい。どうすれば最短距離になり、最短距離は何kmだろうか??

 

解答
約2.73km

 

 

解説(間違った考え)

 

ほとんどの人がやってしまう間違いをまずは解説します。

 

 

 

最短距離ということで、感覚的に直線で結ぶと思ってしまいます。実際に2点ABで考えてみると最短距離は、直線で結んだ距離になります。

 

 

 

なので、この問題の場合は、

 

 

 

 

 

このように、2本の対角線を結んでしまいます。

 

三平方の定理

計算
そして、三平方の定理から

 

 

\(1^2+1^2=x^2  \)

 

 

\(x=\sqrt{2}\)

 

 

\(2×\sqrt{2}=2.82・・\)

 

 

となり、約2.82kmとなりますが、これは正解ではありません。

 

解説(正しい)高校生以上向け

 

 

 

 

 

これが答えの形です。

 

計算式
上の図の長さをxとおくと,①真ん中の線
\(1-2x\)
②4つの線は、三平方の定理から
\(4×\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}\)
①②を足すと距離の長さになる。
\(4×\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}+1-2x\)

 

 

では、最短距離になるにはxがどの値になるのか?

 

 

X=0に代入すると、

\(4×\sqrt{0^2+\frac{1}{4}}+1-2×0\)

 

\(4×\frac{1}{2}+1=\Large{3}\)

 

となります。

 

 

 

x=1/2に代入すると、

 

 

 

 

 

先ほどの形となり、\(\Large{2\sqrt{2}}\)となります。

 

 

xを0.1、0.2としていけば、近いところにできます。

 

 

しかし最短になるのは、ものすごく大変です。

 

 

 

ここで登場するのが、「微分」です!!

 

 

ここから読むの根気が要ります。

 

微分とは、瞬間の変化率を求めることです!

 

 

瞬間の変化率とは、つまり「接線の傾き」のことで、この傾きが0の時に、極大か極小値が求まります。

 

 

ただ、合成関数の知識などが必要なので、簡単に3点ほど説明。

 

  1. x^nの導関数について
  2. √の指数について
  3. 合成関数について

 

 

①x^nの導関数について
\(nが有理数のとき (x^n)’=nx^{n-1}\)

x^nの導関数の例題

\(f(x)=3x^2+5x+2\)の関数を微分。

 

 

\(f'(x)=2×3x^{2-1}+5×x^{1-1}\)

 

 

\(f'(x)=6x+5\)

 

※x^0=1となります。

②指数について
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\)

 

 

③合成関数について
2つの関数\(y=f(u),u=g(x)の合成関数y=f(g(x))\)の導関数について
\({f(g(x))}’=f'(g(x))×g'(x)\)

合成関数の例題

\(f(x)=(x^2+1)^3\)を微分。

 

補足
\(u=x^2+1とおくと、f(u)=u^3となる。\) \(u’=(x^2+1)’=2x, f'(u)=(u^3)’=3u^2\)

 

合成関数の公式より

 

\(f'(x)=3(x^2+1)^2×2x=6x(x^2+1)^2\)

 

 

 

 

  1. x^nの導関数について
  2. √の指数について
  3. 合成関数について

 

 

この知識があれば、

 

 

次の解説もわかると思います。

 

最短距離にするには
\(f(x)=4×\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}+1-2x\)
を微分します。

(解説)

\(xの定義域は、0≦x≦\frac{1}{2}\)

 

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}=(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}\)とあらわす。

 

計算

\(f'(x)=(4×(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}+1-2x)’\)

 

 

\(=4×\frac{1}{2}×(x^2+\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}×2x-2\)

 

 

\(=4x×(x^2+\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}-2\)

 

 

\(=\frac{4x}{(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}}-2\)

 

 

これでは今一つわかりずらいので、グラフで確認したいと思います。

 

 

そこで、

 

 

\(xの定義域は、0≦x≦\frac{1}{2}\)

 

 

なので、X=0のときと、X=1/2のときの増減を確認していきます。

 

X=0のとき
\(f'(0)=\frac{4×0}{(0^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}}-2\)
\(f'(0)=-2\)
x=0のとき、f'(x)はマイナスである。つまり傾きが右肩下がりっていうこと!

 

X=1/2のとき
\(f'(\frac{1}{2})=\frac{4×\frac{1}{2}}{((\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}}-2\)
\(f'(\frac{1}{2})=2\sqrt{2}-2\)
x=1/2のとき、f'(x)はプラスである。つまり傾きが右肩上がりっていうこと!

 

 

こういうグラフが予想されます!

 

 

 

 

 

 

 

このグラフの???を求めれば、最短距離がわかります。

 

 

しかし、どうすればいいのか?

 

 

これは、この瞬間の変化のとき、求めることができます!

 

 

つまりf'(x)=0とすれば、接線の傾きが0になるので、この???がわかります。

 

f'(x)=0の計算
\(\frac{4x}{(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}}-2=0\)
\(\frac{4x}{(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}}=2\)
\(4x=2×(x^2+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}\)
両辺を2乗
\(16x^2=4×(x^2+\frac{1}{4})\)
\(12x^2=1\)
\(x≧0より,x=\Large{\frac{1}{2\sqrt{3}}}\)

 

ここでXの値がわかったので、???の値は、

 

 

\(f(x)=4×\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}+1-2x\)

 

の式に\(x=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)を代入すれば求めれます。

 

代入
\(f(\frac{1}{2\sqrt{3}})=4×\sqrt{(\frac{1}{2\sqrt{3}})^2+\frac{1}{4}}+1-2×\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
\(=4×\frac{1}{\sqrt{3}}+1-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{3}}+1\)
\(=\sqrt{3}+1\)

 

よって、2.73kmとなります!

 

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シュタイナー木問題

 

この問題は、シュタイナー木問題と呼ばれています。特にこの正方形の形は有名です。

 

 

日本数学オリンピックの予選にも出題されました。(1993)

問題
一辺の長さが1の正方形ABCDの任意の点P,Qとするとき、AP+BP+PQ+CQ+DQの最小値を求めよ。

 

 

 

 

 

最後に平面上3点のシュタイナー木問題を簡単に紹介します。

 

①点ABCの内角がどれも120°を超えない場合は、最短距離は図の赤線となり、その内側の角度は120°となります。
②点ABCのいずれかの内角が120°以上の場合、最短距離は内角120°を含む三角形の辺(図の赤線)となります。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

このことを知っていたとして、先ほどの問題を考えていきます。

 

まずは、この形にします。

 

 

そして、交わる点をPとして、⊿ABPと⊿CDPで考えてみます。

 

 

 

 

 

 

2つの三角形はどの内角も120°を超えていないため、最短距離は三角形の内側になり、その角度は120°となる点になります。

 

 

 

 

よって、この形となります。

 

 

最短距離については、直角三角形の30°,60°,90°の1:2:√3の法則を知っていれば簡単です。

 

\(1:\sqrt{3}=x:\frac{1}{2}\)

 

 

\(\sqrt{3}x=\frac{1}{2}\)

 

 

\(x=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

 

 

このようにして、解くことも可能です。

 

 

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