一筆書きとは・・鉛筆などを一度も紙から離さず図形を描くことです。

 

この図形は一筆書きで描けます。

 

 

ではこれはどうでしょうか??

 

(※最後に解答あります!)

 

これは数学パズルの定番の問題で、一筆書き問題というものです。

 

 

実はこの一筆書きにはある法則が隠されていました!

 

 

そして、この単純なパズルから数学のある分野が発展していきます。

 

 

この法則に気付いた最初の人物とは誰なのか??

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ケーニヒスベルクの七つの橋

問題

18世紀初期、プロイセン王国の東部に東プロイセンという国があった。

 

その国の首都にはケーニヒスベルクという大きな町があり、

 

この町の中央にはプレーゲル川という大きな川が流れており、七つの橋が架けられていた。

 

あるとき、町の人が

 

町の人
このプレーゲル川に架かっている7つの橋を1度しか通らずに、全て渡って元の所に帰ってくることができるのだろうか?

 

と言った。こんなことができるのだろうか??

 

wikipediaBogdan Giuşcă 氏によるThe problem of the Seven Bridges of Königsberg.CC 表示-継承 3.0

ブレーゲル川と7つの橋を示したケーニヒスベルク

 

 

 

解答

できない。

 

解説

これを証明したのは、レオンハルト・オイラーです。

 

オイラーはこの問題を

 

オイラー
地形は関係ない、つながり方に意味がある。

 

と考えました。つまり、

 

  

  – wikipedia CC 表示-継承 3.0

  

wikipedia Königsberg graph CC 表示-継承 3.0

 

このようにこの町をグラフ化して考えました。

 

このグラフが一筆書きできれば問題が解決するからです。

 

そして、一筆書きができる条件を2通りに分けて考え、あることに気付きます。

  • スタートとゴールが同じ(閉じた場合)
  • スタートとゴールが違う(開いた場合)

 

 

スタートとゴールが同じ場合

 

 

この図形では、A~Dどこからスタートしてもゴールが同じ場所になります。

 

そして、どの頂点も集まってきている線が2本(偶数本)であることに気付くと思います。

 

スタートとゴールが同じ場合には、

 

どの頂点も集まってくる線(次数)が偶数ってことです。

 

 

スタートとゴールが違う場合

 

 

 

上の図はDかEからスタートしなければ、一筆書きができません。

 

 

そして、D→EE→Dでゴールするようになってます。

 

 

Dの次数は3、Eの次数は1、残りは2です。

 

 

つまり、次数が奇数の頂点が2個で、残りの頂点の次数は偶数です。

 

 

スタートとゴールが違う場合には、

 

次数が奇数の頂点が2個だけで、残りの頂点の次数は偶数

 

 

一筆書き判定

これらをまとめると、一筆書きができるかどうかの判定は

  1. 頂点の次数が全て偶数
  2. 2つの頂点のみ次数が奇数、残りは偶数

 

この2つの場合だけ可能とわかります。

 

実際に確認してみてください。

 

 

頂点の次数が全て偶数の図形

 

 

2つの図形は、どの点からスタートしても一筆書き可能です。

 

 

2つの頂点のみ次数が奇数、残りは偶数

 

 

この図形は、AかBの点からスタートすれば一筆書き可能です。

 

 

ケーニヒスベルクの七つの橋

 

wikipedia Königsberg graph CC 表示-継承 3.0

 

一筆書きができるかどうかの判定は

  1. 頂点の次数が全て偶数
  2. 2つの頂点のみ次数が奇数、残りは偶数

だけです。

 

このグラフは、頂点の次数が3,3,3,5とすべて奇数となってます。

 

 

①と②に該当しないため、一筆書きを描けない。

 

 

つまり、この問題は元に戻ってくることはできない!!ってことになります。

 

 

この問題からグラフ理論が発展していきました!

 

最初の問題 

この図形は一筆書きできる図形か??

 

 

 

 

 

 

 

解答

できます。

 

 

解説

 

まず頂点の次数を調べます。

 

頂点の次数が全て偶数とわかります。

 

一筆書きの判定は

  1. 頂点の次数が全て偶数
  2. 2つの頂点のみ次数が奇数、残りは偶数

であるので、

 

①に該当するので、この図形は一筆書きできます。

 

 

どの頂点から始めても、その場所に戻ってくることができる手順がありますので、根気よく確かめてみてください!!

 

 

 

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